| Summary: | <p>We give necessary and sufficient conditions for uniform exponential dichotomy of evolution families in terms of the admissibility of the pair <mml:math> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math>. We show that the admissibility of the pair <mml:math> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is equivalent to the uniform exponential dichotomy of an evolution family if and only if <mml:math> <mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi> </mml:math>. As applications we obtain characterizations for uniform exponential dichotomy of semigroups.</p>
|
|---|
