[en] SENSITIVITY ANALYSIS AND SHAPE OPTIMIZATION OF GEOMETRICALLY NON-LINEAR STRUCTURES - EVANDRO PARENTE JUNIOR (MAXWELL, 2001)
[pt] Este trabalho propõe uma metodologia para a otimização de forma de estruturas geometricamente não-lineares. O objetivo desta metodologia é evitar os problemas de instabilidade apresentados por estruturas otimizadas de acordo com a formulação clássica. Ela foi implementada para problemas bidimensionais e os resultados obtidos na otimização de diferentes estruturas demonstraram o seu sucesso. Utilizando-se conceitos de modelagem geométrica, a forma da estrutura é defini-da através das curvas de seu contorno. Assim, a representação paramétrica de curvas e a definição destas em função de um conjunto de pontos de interpolação (pontos-chave) são discutidas detalhadamente. A ênfase é dada à interpolação através de B-splines,devido a sua grande flexibilidade. O problema de otimização é definido com base no modelo geométrico e as variáveis de projeto são as coordenadas dos pontos-chave. A simetria da estrutura é garantida através da ligação de variáveis. A estrutura é analisada através de elementos isoparametricos planos. Assim, antes de realizar a análise, é necessário discretizar a estrutura em um conjunto de elementos finitos. Para realizar esta tarefa foram implementados diferentes algoritmos de geração de malhas, tanto estruturadas quanto não-estruturadas. O método de Newton-Raphson é utilizado pa- ra determinar a configuração de equilíbrio e diferentes métodos podem ser aplicados para determinar os pontos críticos. Devido aos problemas de convergência apresentados pelos métodos diretos para a determinação dos pontos crticos, um método semi-direto foi desenvolvido neste trabalho. Os resultados obtidos na análise de diferentes exemplos mostraram a adequação dos elementos finitos e dos métodos numéricos implementados. Os algoritmos de programação matemática utilizados neste trabalho precisam dos gradientes da função objetivo e das restrições, que são calculadas com base nos gradientes das respostas da estrutura. Partindo-se de equações gerais válidas para quaisquer elementos,foram desenvolvidas expressões analíticas que permitem o cálculo exato das sensibilidades de elementos finitos isoparamétricos formulados através do procedimento Lagrangiano Total. O desenvolvimento e a implementação de expressões semelhantes para elementos mais complexos é uma tarefa bastante árdua. Por outro lado, o método das diferenças fi- nitas é simples e genérico, mas muito caro computacionalmente. O método semi-analítico mantémm as vantagens da utilização de diferenças finitas e possui um custo computacional baixo, porém pode apresentar sérios problemas de preciso. Devido a estes motivos, foi desenvolvido neste trabalho um procedimento para melhorar a qualidade das sensibilidades semi-analíticas de estruturas geometricamente não-lineares. O procedimento é baseado na diferenciação exata dos movimentos de corpo rígido do elemento utilizado. Os resultados numéricos obtidos demonstraram a sua eficácia. === [en] This work presents a methodology for shape optimization of geometrically nonlinear structures. The main purpose is to avoid the stability problems generated by optimization based on linear behavior. The methodology was implemented for two-dimensional problems, and several structures were successfully optimized. Using geometrical modeling concepts, the shape of the structure is defined by its boundary curves. Therefore, parametric representation and curve definition by a set of key points are discussed in detail. Due to its flexibility in shape definition, particular attention is given to interpolation using B- splines. The optimization problem is defined based on the geometrical model and the design variables are the positions of key points. Design variable linking can be applied to enforce symmetry.The structure it is analyzed using plane isoparametric elements. Thus, is necessary to perform the discretization of the structure in a set of finite elements. Different algorithms were implemented to generate structured or unstructured finite element meshes. The standard Newton-Raphson method is applied to find the equilibrium configuration, and different methods can be used to evaluate critical points. Due to the convergence problems presented by direct methods, a new semi-direct method was developed. The numerical results show the suitability of the finite elements and numerical methods implemented in the present work.The mathematical programming algorithms used in this work require the evaluation of design sensitivities in order to compute the search direction of the optimization process.Using basic sensitivity equations, which are independent from the particular element, analytical expressions were developed for the sensitivity computation of isoparametric elements formulated according to the Total Lagrangian approach. Applying the analytical method for more complex elements is very cumbersome and error prone. On the other hand, the finite difference method is simple and generic, but its computational cost is prohibitive. The semi-analytical method preserves the advantages of the use of finite differences and has a low computational cost, but presents severe accuracy problems. Hence, a method based on the exact differentiation of the rigid body motions was developed in this work to improve the accuracy of the semi- analytical sensitivities of geometrically nonlinear structures. The numerical examples show that this method eliminates the abnormal errors presented by the semi- analytical sensitivities. === [es] Este trabajo propone una metodología para la optimización de forma de extructuras geométricamente no lineares. EL objetivo de esta metodología es evitar los problemas de inestabilidad que presentan las extructuras optimizadas de acuerdo con la formulación clásica. Ella fue implementada para problemas bidimensionales y los resultados obtenidos en la optimización de diferentes extructuras demuestran su éxito. Utilizando conceptos de modelaje geométrica, la forma de la extructura se define a través de las curvas de contorno. Así, la representación paramétrica de curvas y su definición en función de un conjunto de puntos de interpolación (puntos clave) son discutidas detalladamente. Se le da especial a la interpolación a través de B splines,debido a su gran flexibilidad. El problema de optimización se define con base en el modelo geométrico y las variables de proyecto son las coordenadas de los puntos clave. La simetría de la extructura se garante a través de la llamada de variables. La extructura se analiza a través de elementos isoparamétricos planos. Antes de realizar el análisis, es necesario discretizar la extructura en un conjunto de elementos finitos. Para realizar esta tarea fueron implementados diferentes algoritmos de generación de mallas, tanto extructuradas como no extructuradas. EL método de Newton Raphson es utilizado para determinar la configuración de equilibrio y pueden ser aplicados diferentes métodos para determinar los puntos críticos. Debido a los problemas de convergencia presentados por los métodos directos para la determinación de los puntos crticos, se desarrolló un método semidirecto. Los resultados obtenidos en el análisis de diferentes ejemplos muestran la adque los elementos finitos los métodos numéricos implementados son adequados Los algoritmos de programación matemática utilizados en este trabajo necesitan los gradientes de la función objetivo y de las restricciones, que son calculadas con base en los gradientes de las respuestas de la extructura. Partiendo de las ecuaciones generales válidas para cualesquiera elementos, fueron desarrolladas expresiones analíticas que permiten el cálculo exacto de las sensibilidades de elementos finitos isoparamétricos formulados a través del procedimiento Lagrangiano Total. EL desarrollo y la implementación de expresiones semejantes para elementos más complexos es una tarea bastante árdua. Por otro lado, el método de las diferencias finitas es simple y genérico, pero muy caro computacionalmente. EL método semianalítico mantiene las ventajas de la utilización de diferencias finitas y posee un costo computacional bajo, pero puede presentar serios problemas de precisión. Es por ello que se desarrolló en este trabajo un procedimiento para mejorar la calidad de las sensibilidades semianalíticas de extructuras geométricamente no lineares. EL procedimiento tiene como base la diferenciación exacta de los movimentos de cuerpo rígido del elemento utilizado. Los resultados numéricos obtenidos demuestran su eficacia.