| Summary: | Let <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> be a <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mi>σ</mi> </semantics> </math> </inline-formula>-finite measure space and denote by <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> the <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mi>μ</mi> </semantics> </math> </inline-formula>-measurable functions <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>f</mi> <mo lspace="0pt">:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>∞</mi> <mo>]</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>f</mi> <mo><</mo> <mi>∞</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula><inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mi>μ</mi> </semantics> </math> </inline-formula> ae. Suppose <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>K</mi> <mo lspace="0pt">:</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>∞</mi> <mo>)</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> is <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>μ</mi> <mo>×</mo> <mi>μ</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>-measurable and define the mutually transposed operators <i>T</i> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </semantics> </math> </inline-formula> on <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> by <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mi>X</mi> </msub> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="0.166667em"></mspace> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula><inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mspace width="4pt"></mspace> <mi>and</mi> <mspace width="4pt"></mspace> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula><inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>g</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mi>X</mi> </msub> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="0.166667em"></mspace> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> Our interest is in inequalities involving a fixed (weight) function <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and an index <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>p</mi> <mo>∈</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>∞</mi> <mo>)</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> such that: (*): <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mi>X</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mi>p</mi> </msup> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>≲</mo> <mi>C</mi> <msub> <mo>∫</mo> <mi>X</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mi>p</mi> </msup> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> The constant <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>C</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> is to be independent of <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> We wish to construct all <i>w</i> for which (*) holds. Considerations concerning Schur’s Lemma ensure that every such <i>w</i> is within constant multiples of expressions of the form <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> where <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> satisfy <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>T</mi> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>1</mn> </msub> <mspace width="4pt"></mspace> <mi>and</mi> <mspace width="4pt"></mspace> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>.</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> Our fundamental result shows that the <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>1</mn> </msub> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msub> <mi>ϕ</mi> <mn>2</mn> </msub> </semantics> </math> </inline-formula> above are within constant multiples of (**): <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>∞</mi> </msubsup> <msup> <mi>E</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msub> <mi>ψ</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mspace width="4pt"></mspace> <mi>and</mi> <mspace width="4pt"></mspace> <msub> <mi>ψ</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>∞</mi> </msubsup> <msup> <mi>E</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msub> <mi>ψ</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>respectively; here <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>E</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mo>′</mo> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> are the <i>j</i>th iterates of <i>T</i> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </semantics> </math> </inline-formula>. This result is explored in the context of Poisson, Bessel and Gauss–Weierstrass means and of Hardy averaging operators. All but the Hardy averaging operators are defined through symmetric kernels <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, so that <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>T</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. This means that only the first series in (**) needs to be studied.
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