Analyse numérique de la dynamique des dislocations et applications à l'homogénéisation

• Main Author: Ghorbel, Mohamed-Amin
• Published: Ecole des Ponts ParisTech 2007
• Subjects: [MATH] Mathematics; Equations aux dérivées partielles (EDP); Analyse numérique; Dislocations; force de Peach-Koehler; Estimationd'erreur; Simulation; Homogénéisation numérique; Hamiltionien effectif; équation Hamilton-Jacobi; équation eikonal; équation de transport; équation non-locale; Solution de viscosité
• Online Access: http://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00002190; http://pastel.archives-ouvertes.fr/docs/00/50/03/79/PDF/these.pdf

Ce travail porte, pour l'essentiel, sur l'analyse numérique de la dynamique des dislocations. Les dislocations sont des défauts qui se déplacent dans les cristaux, lorsque ceux-ci sont soumis à des contraintes extérieures. Notre travail se focalise principalement sur deux études. La première concerne l'étude théorique et numérique d'une équation de transport non-locale; la seconde est une étude numérique proposant un calcul de l'hamiltonien effectif pour un problème d'homogénéisation de la dynamique des dislocations. D'une façon générale, la dynamique des dislocations est décrite par une équation eikonal dont la vitesse est nonlocale. Ici, nous nous limitons à un modèle en dimension 1 d'espace. Dans une première partie nous démontrons des résultats d'existence et d'unicité de la solution en temps long ainsi qu'une estimation d'erreur théorique/numérique pour un schéma aux différences finies. Dans une deuxième partie un schéma monotone est utilisé pour calculer l'hamiltonien effectif qui décrit le comportement collectif de densités de dislocations comme limite d'un modèle ou les dislocations sont décrites individuellement. Les résultats numériques présentés ici viennent en soutien à une étude théorique d'homogénéisation.