Singularités en optique nonlinéaire: étude mathématique

• Main Author: Cabart, Gilles
• Language: FRE
• Published: Université de Reims - Champagne Ardenne 2005
• Subjects: [MATH] Mathematics; [PHYS:PHYS:PHYS_ATOM-PH] Physics/Physics/Atomic Physics; équation des ondes; semi-linéaire; non-linéarité cubique; explosion; comportement à l'explosion; étude numérique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008454; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/77/18/PDF/tel-00008454.pdf

L'objet de cette thèse est l'étude de deux équations des ondes semi-linéaires présentant une non-linéarité de type cubique : <br /><br />(NLCR) \Box u =2\, u^3,<br /><br />et<br /><br />(NLCC)\Box u +\alpha \,\frac(\pa u)(\pa z)=2\, u|u|^2+\beta \,u,<br /><br />où $\alpha\in i\,\R$ et $\beta \in \R$.<br /> <br />On prouve d'abord, en s'appuyant sur les techniques de réduction Fuchsienne développées par S.~Kichenassamy et al., l'existence, pour plusieurs classes d'hypersurfaces de genre espace de $\R\times \R^n$ assez régulières, de solutions explosant exactement sur la surface considérée. Par ailleurs, l'aspect constructif des méthodes nous offre de nombreuses informations sur la forme de ces solutions au voisinage de leur surface d'explosion.<br /><br />La suite est consacrée à diverses applications des connaissances acquises : on exploite notamment celles concernant le comportement des solutions près de leur lieu d'explosion, pour répondre partiellement à trois questions:<br /> i) Comment se comporte, près de la surface d'explosion, une intégrale particulière construite sur le modèle de l'``intégrale d'énergie'' canoniquement associée avec l'équation (NLCR) ?<br /> ii) Dans quels espaces de type $L^p$, les solutions de l'équation (NLCR) --éventuellement un peu perturbée-- peuvent-elles exploser ou pas?<br /> iii) Dans quelle mesure peut-on mettre en oeuvre une étude numérique complète de l'équation (NLCR), prenant en compte les difficultés inhérentes à l'explosion ?