Paramétrage quasi-optimal de l'intersection de deux quadriques : théorie, algorithmes et implantation

• Main Author: Dupont, Laurent
• Language: FRE
• Published: Université Nancy II 2004
• Subjects: [INFO:INFO_SE] Computer Science/Software Engineering; calcul formel et manipulations algébriques<br />Algorithmes <br />informatique graphique<br />géométrie algorithmique et modélisation<br />géométrique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00103446; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/10/34/46/PDF/these.pdf

Cette thèse présente un algorithme robuste et efficace du calcul<br /> d'une forme paramétrée exacte de la courbe d'intersection de deux<br /> quadriques définies par des équations implicites à coefficients rationnels. Pour la première fois, le<br /> paramétrage que nous obtenons contient toutes les informations<br /> topologiques de la courbe et est assez simple pour être exploité<br /> dans des applications géométriques non triviales.<br /><br /> De nombreux progrès, dans différents domaines, ont été<br /> nécessaires pour atteindre ce résultat. Nous avons réalisé une étude<br /> exhaustive de tous les cas possibles d'intersection, d'abord dans<br /> $\Pp^3(\C)$ en nous basant sur les travaux de Segre, puis dans $\Pp^3(\R)$ <br /> en exploitant les résultats d'Uhlig sur la réduction simultanée de<br /> deux formes quadratiques réelles. Cette étude systématique nous a<br /> permis de maîtriser complètement la géométrie inhérente à<br /> l'intersection de deux quadriques. Nous sommes maintenant capables<br /> de déterminer toutes les caractéristiques de la courbe<br /> d'intersection, à savoir son genre, ses points singuliers, le nombre<br /> de ses composantes algébriques et connexes, et les incidences entre<br /> ces composantes. Quand il en existe, nous<br /> trouvons un paramétrage rationnel des composantes de la courbe<br /> d'intersection. En ce sens, notre algorithme est optimal.<br /> Nous avons aussi fait des progrès significatifs sur la complexité de l'expression radicale des<br /> coefficients du paramétrage obtenu.<br /> Notre résultat est quasi-optimal dans le sens où les coefficients du paramétrage<br /> de la courbe d'intersection que nous calculons contiennent au plus<br /> une racine carrée non nécessaire dans leur expression. <br /> De plus, notre résultat est optimal dans le cas le pire,<br /> dans le sens où pour chaque type de courbe d'intersection<br /> (par exemple une quartique régulière, ou une cubique et une droite, ou<br /> deux coniques), il existe des paires de quadriques pour lesquelles le<br /> nombre de racines carrées apparaissant dans l'expression des<br /> coefficients de notre paramétrage est minimal.<br /><br /> Enfin, nous avons réalisé une implantation complète de notre<br /> algorithme en MuPAD qui nous a permis d'afficher des<br /> performances inédites, tant en terme de vitesse d'exécution qu'en terme de<br /> simplicité du résultat obtenu.