Matrices structurées et matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz en calcul numérique et formel

• Main Author: Khalil, Houssam
• Language: FRE
• Published: Université Claude Bernard - Lyon I 2008
• Subjects: [MATH] Mathematics; systèmes linéaires; Matrices structurées; Matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz; Matrices bandes; Syzygies; Interpolation rationnelle
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00306987; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/30/69/87/PDF/these.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/30/69/87/ANNEX/presentation.pdf

Plusieurs problèmes en mathématiques appliquées requièrent la résolution de systèmes linéaires de très grandes tailles, et parfois ces systèmes doivent être résolus de multiples fois. Dans de tels cas, les algorithmes standards basés sur l'élimination de Gauss demandent O(n^3) opérations arithmétiques pour résoudre un système de taille n, et ce sera un handicap pour le calcul. C'est pour cela qu'on cherche à utiliser la structure pour réduire le temps de calcul.<br /><br /> La structure de Toeplitz, de Hankel, de Cauchy, de Vandermonde et d'autre structure plus générales sont bien exploitées pour réduire la complexité de résolution d'un système linéaire à O(n log^2 n) opérations arithmétiques.<br /><br /> Les matrices structurées en deux niveaux et surtout les matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz (TBT) apparaissent dans beaucoup des applications. Le but de ce travail est de trouver des algorithmes de résolution rapide pour des systèmes TBT de grande taille.<br /><br /> Dans cette thèse, on décrit les difficultés de ce problème. On donne trois algorithmes rapide, en O(n^3/2) opérations, de résolution pour les systèmes de Toeplitz bande par blocs Toeplitz bande. On donne aussi une nouvelle méthode de résolution des systèmes de Toeplitz scalaires en donnant une relation entre la solution d'un système de Toeplitz scalaires et les syzygies des polynômes en une seule variable. On généralise cette méthode pour les matrices TBT et on donne une relation entre la solution d'un tel système linéaire et les syzygies des polynômes en deux variables.