Caractérisations de l'aléatoire par les jeux: imprédictibilité et stochasticité.

• Main Author: Bienvenu, Laurent
• Language: ENG
• Published: Université de Provence - Aix-Marseille I 2008
• Subjects: [INFO:INFO_OH] Computer Science/Other; [MATH] Mathematics; Calculabilité; Théorie algorithmique de l'aléatoire; Complexité de Kolmogorov
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00332425; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/36/99/83/PDF/LaurentBienvenu-These.pdf; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/36/99/83/ANNEX/slides.pdf

Cette thèse est une contribution à l'étude des différentes notions effectives d'aléatoire pour les objets individuels (essentiellement les suites binaires finies ou finies). Dans le premier chapitre nous considérons les approches de l'aléatoire par la théorie des jeux (martingales et stratégies) que nous comparons à l'approche historique par les fréquences qui remonte au début du 20ème siècle avec les travaux de von Mises. Le résultat principal de ce chapitre est une relation explicite entre la vitesse de gain d'une martingale (ou stratégie) sur une suite binaire et le biais des sous-suites extraites. Le second chapitre porte sur les liens existant entre les différentes définitions de l'aléatoire pour les suites binaires infinies et la notion de complexité de Kolmogorov, définie comme étant la taille du plus court programme qui génère un objet donné. De nombreux résultats sont déjà connus dans ce domaine. Nous présentons une approche nouvelle, en utilisant non pas la complexité de Kolmogorov elle-même, mais ses bornes supérieures calculables. Cette approche est unificatrice, en ce sens qu'elle permet de caractériser précisément une grande variété de notions d'aléatoire, dont certaines pour qui la complexité de Kolmogorov échoue. Le troisième et dernier chapitre étudie l'extension des notions effectives d'aléatoire à des mesures de probabilité calculables quelconques, et plus particulièrement les relations d'équivalence qu'elles induisent sur ces mesures (où deux mesures sont équivalentes si elles ont les mêmes éléments aléatoires). Une preuve constructive (par les martingales) du théorème de Kakutani (qui caractérise l'équivalence entre les mesures de Bernoulli généralisées) y est notamment obtenue. Enfin, nous discutons en toute généralité (c'est-à-dire pour des mesures quelconques) les relations d'équivalence induites, dont nous donnons une classification complète.