Nouvelles méthodes de traitement de signaux multidimensionnels par décomposition suivant le théorème de Superposition de Kolmogorov

• Main Author: Leni, Pierre-Emmanuel
• Language: fra
• Published: Université de Bourgogne 2010
• Subjects: [INFO:INFO_OH] Computer Science/Other; [INFO:INFO_OH] Informatique/Autre; Théorème de superposition de Kolmogorov; Décomposition de fonctions multivariées; Traitement de signal; Compression d'image; Transgression progressive d'image
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00581756; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/58/98/96/PDF/these_LENI_Pierre_Emmanuel_2010.pdf

Le traitement de signaux multidimensionnels reste un problème délicat lorsqu'il s'agit d'utiliser des méthodes conçues pour traiter des signaux monodimensionnels. Il faut alors étendre les méthodes monodimensionnelles à plusieurs dimensions, ce qui n'est pas toujours possible, ou bien convertir les signaux multidimensionnels en signaux 1D. Dans ce cas, l'objectif est de conserver le maximum des propriétés du signal original. Dans ce contexte, le théorème de superposition de Kolmogorov fournit un cadre théorique prometteur pour la conversion de signaux multidimensionnels. En effet, en 1957, Kolmogorov a démontré que toute fonction multivariée pouvait s'écrire comme sommes et compositions de fonctions monovariées. Notre travail s'est focalisé sur la décomposition d'images suivant le schéma proposé par le théorème de superposition, afin d''etudier les applications possibles de cette d'ecomposition au traitement d'image. Pour cela, nous avons tout d'abord 'etudi'e la construction des fonctions monovari'ees. Ce probl'eme a fait l'objet de nombreuses 'etudes, et r'ecemment, deux algorithmes ont 'et'e propos'es. Sprecher a propos'e dans [Sprecher, 1996; Sprecher, 1997] un algorithme dans lequel il d'ecrit explicitement la m'ethode pour construire exactement les fonctions monovari'ees, tout en introduisant des notions fondamentales 'a la compr'ehension du th'eor'eme. Par ailleurs, Igelnik et Parikh ont propos'e dans [Igelnik and Parikh, 2003; Igelnik, 2009] un algorithme pour approximer les fonctions monovariéees par un réseau de splines. Nous avons appliqué ces deux algorithmes à la décomposition d'images. Nous nous sommes ensuite focalisés sur l'étude de l'algorithme d'Igelnik, qui est plus facilement modifiable et offre une repréesentation analytique des fonctions, pour proposer deux applications originales répondant à des problématiques classiques de traitement de l'image : pour la compression : nous avons étudié la qualité de l'image reconstruite par un réseau de splines généré avec seulement une partie des pixels de l'image originale. Pour améliorer cette reconstruction, nous avons proposé d'effectuer cette décomposition sur des images de détails issues d'une transformée en ondelettes. Nous avons ensuite combiné cette méthode à JPEG 2000, et nous montrons que nous améliorons ainsi le schéma de compression JPEG 2000, même à bas bitrates. Pour la transmission progressive : en modifiant la génération du réseau de splines, l'image peut être décomposée en une seule fonction monovariée. Cette fonction peut être transmise progressivement, ce qui permet de reconstruire l'image en augmentant progressivement sa résolution. De plus, nous montrons qu'une telle transmission est résistante à la perte d'information.