Approximation et représentation des fonctions sur la sphère. Applications à la géodésie et à l'imagerie médicale.

• Main Author: Nicu, Ana-Maria
• Language: ENG
• Published: Université de Nice Sophia-Antipolis 2012
• Subjects: [MATH:MATH_NA] Mathematics/Numerical Analysis; problemes inverses; base de Slepian; quadrature de Gauss
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00671453; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/67/14/53/PDF/manuscrit_Ana_Maria_Nicu.pdf

Cette thèse est construite autour de l'approximation et la représentation des fonctions sur la sphère avec des applications pour des problèmes inverses issues de la géodésie et de l'imagerie médicale. Le plan de la thèse est structuré de la façon suivante. Dans le premier chapitre, on donne le cadre général d'un problème inverse ainsi que la description du problème de la géophysique et de la M/EEG. L'idée d'un problème inverse est de retrouver une densité à l'intérieur d'un domaine (la boule unité modélisant la terre ou le cerveau humain), à partir des données des mesures d'un certain potentiel à la surface du domaine. On continue par donner les principales définitions et théorèmes qu'on utilisera tout au long de la thèse. De plus, la résolution du problème inverse consiste dans la résolution de deux problèmes : transmission de données et localisation de sources à l'intérieur de la boule. En pratique, les données mesurées sont disponibles que sur des parties de la sphère : calottes sphériques, hémisphère nord de la tête (M/EEG), continents (géodésie). Pour représenter ce type de données, on construit la base de Slepian qui a des bonnes propriétés sur les régions étudiées. Dans le Chapitre 4 on s'intéresse au problème d'estimation de données sur la sphère entière (leur développement sous la base des harmoniques sphériques) à partir des mesures partielles bruitées. Une fois qu'on connait ce développement, on applique la méthode du meilleur approximant rationnel sur des sections planes de la sphère (Chapitre 5). Ce chapitre traite trois types de densité : monopolaire, dipolaire et inclusions pour la modélisation des problèmes, ainsi que des propriétés de la densité et du potentiel associé, quantités mises en relation par un certain opérateur. Dans le Chapitre 6 on regarde les Chapitres 3, 4 et 5 du point de vue numérique. On présente des tests numériques pour la localisation de sources dans la géodésie et la M/EEG lorsqu'on dispose des données partielles sur la sphère.