Techniques d'approximation rationnelle en synthèse fréquentielle : problème de Zolotarev et algorithme de Schur

• Main Author: Lunot, Vincent
• Language: ENG
• Published: Université de Provence - Aix-Marseille I 2008
• Subjects: [MATH:MATH_NA] Mathematics/Numerical Analysis; [MATH:MATH_NA] Mathématiques/Analyse numérique; [MATH:MATH_OC] Mathematics/Optimization and Control; [MATH:MATH_OC] Mathématiques/Optimisation et contrôle; [MATH:MATH_CV] Mathematics/Complex Variables; [MATH:MATH_CV] Mathématiques/Variables complexes; [SPI:ELEC] Engineering Sciences/Electromagnetism; [SPI:ELEC] Sciences de l'ingénieur/Electromagnétisme; [SPI:SIGNAL] Engineering Sciences/Signal and Image processing; [SPI:SIGNAL] Sciences de l'ingénieur/Traitement du signal et de l'image; [INFO:INFO_TS] Computer Science/Signal and Image Processing; [INFO:INFO_TS] Informatique/Traitement du signal et de l'image; Schur; Zolotarev; approximation rationnelle; filtres hyperfréquences; fonctions de filtrage multibandes; Remes; correction différentielle; fonctions rationnelles orthogonales
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00711860; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/71/18/60/PDF/Thesis_Vincent_Lunot.pdf

Cette thèse présente des techniques d'optimisation et d'approximation rationnelle ayant des applications en synthèse et identification de systèmes passifs. La première partie décrit un problème de Zolotarev : on cherche à maximiser sur une famille d'intervalles l'infimum du module d'une fonction rationnelle de degré donné, tout en contraignant son module à ne pas dépasser 1 sur une autre famille d'intervalles. On s'intéresse dans un premier temps à l'existence et à la caractérisation des solutions d'un tel problème. Deux algorithmes, de type Remes et correction différentielle, sont ensuite présentés et étudiés. Le lien avec la synthèse de filtres hyperfréquences est détaillé. La théorie présentée permet en fait le calcul de fonctions de filtrage, multibandes ou monobandes, respectant un gabarit fixé. Celle-ci a été appliquée à la conception de plusieurs filtres hyperfréquences multibandes dont les réponses théoriques et les mesures sont données. La deuxième partie concerne l'approximation rationnelle Schur d'une fonction Schur. Une fonction Schur est une fonction analytique dans le disque unité bornée par 1 en module. On étudie tout d'abord l'algorithme de Schur multipoints, qui fournit un paramétrage des fonctions strictement Schur. Le lien avec les fonctions rationnelles orthogonales, obtenu grâce à un théorème de type Geronimus, est ensuite présenté. Celui-ci permet alors d'établir certaines propriétés d'approximation dans le cas peu étudié où les points d'interpolation tendent vers le bord du disque. En particulier, une convergence en métrique de Poincaré est obtenue grâce à une extension d'un théorème de type Szego. Une étude numérique sur l'approximation rationnelle Schur à degré fixé est aussi réalisée.