Étude unifiée d'équations aux dérivées partielles de type elliptique régies par des équations différentielles à coefficients opérateurs dans un cadre non commutatif: applications concrètes dans les espaces de Hölder et les espaces Lp

• Main Author: Meisner, Maëlis
• Language: FRE
• Published: Université du Havre 2012
• Subjects: [MATH:MATH_AP] Mathematics/Analysis of PDEs; équation différentielle opérationnelle du second ordre de type elliptique; cadre non commutatif; condition aux limites; régularité maximale; semi-groupe analytique; calcul fonctionnel de Dunford; espace d'interpolation; espace UMD; problème de transmission; couche mince; cellule biologique
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00712008; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/75/77/80/PDF/these-Meisner-2012-06-22.pdf

L'objectif de ce travail est l'étude des équations différentielles complètes du second ordre de type elliptique à coefficients opérateurs dans un espace de Banach X quelconque. Une application concrète de ces équations est détaillée, il s'agit d'un problème de transmission du potentiel électrique dans une cellule biologique où la membrane constitue une couche mince. L'originalité de ce travail réside particulièrement dans le fait que les opérateurs non bornés considérés ne commutent pas nécessairement. Une nouvelle hypothèse dite de non commutativité est alors introduite. L'analyse est faite dans deux cadres fonctionnels distincts: les espaces de Hölder et les espaces Lp (avec X un espace UMD). L'équation est d'abord étudiée sur la droite réelle puis sur un intervalle borné avec conditions aux limites de Dirichlet. On donne des résultats d'existence, d'unicité et de régularité maximale de la solution classique sous des conditions sur les données dans des espaces d'interpolation. Les techniques utilisées sont basées sur la théorie des semi-groupes, le calcul fonctionnel de Dunford et la théorie de l'interpolation. Ces résultats sont tous appliqués à des équations aux dérivées partielles concrètes de type elliptique ou quasi-elliptique.