Filtration par le poids équivariante pour les variétés algébriques réelles avec action

• Main Author: Priziac, Fabien
• Language: fra
• Published: Université Rennes 1 2012
• Subjects: [MATH:MATH_AG] Mathematics/Algebraic Geometry; [MATH:MATH_AG] Mathématiques/Géométrie algébrique; géométrie algébrique réelle; filtration par le poids; action de groupe; suites spectrales; invariants additifs; suite exacte de Smith; Ensembles semi-algébriques; Singularités (mathématiques); Homologie
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00787619; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/78/76/19/PDF/Priziac_Fabien.pdf

Introduite par B. Totaro, la filtration par le poids sur l'homologie des variétés algébriques réelles, analogue réel de la filtration par le poids de P. Deligne sur les variétés algébriques complexes, a été réalisée via un complexe de chaînes filtré par C. McCrory et A. Parusinski, qui en ont enrichi la compréhension, notamment à travers l'étude de la suite spectrale induite. Au milieu des nombreuses informations recelées par cette suite spectrale de poids, on retrouve les nombres de Betti virtuels. Dans cette thèse, on montre l'existence d'une filtration par le poids équivariante sur l'homologie équivariante des variétés algébriques réelles munies d'une action d'un groupe fini. On la réalise par un complexe filtré et, via la construction de plusieurs suites spectrales, on effectue des avancées significatives pour extraire des invariants additifs. Lors de notre étude, on définit fonctoriellement un complexe de poids avec action et on montre qu'un résultat de découpage d'une variété Nash munie d'une involution algébrique entraîne un analogue de la suite exacte de Smith, tenant compte de la filtration Nash-constructible. A travers la construction d'un complexe de poids invariant dans le cadre d'involutions algébriques, on retrouve également les nombres de Betti virtuels équivariants de G. Fichou. Enfin, en appliquant les bons foncteurs aux résultats sur les produits de filtrations par le poids réelles de T. Limoges, on donne des résultats sur les produits de filtrations par le poids équivariantes.