Contribution à l'étude des opérateurs de Schrödinger discrets

• Main Author: Guille-Biel Winder, Claire
• Language: fra
• Published: Université de Provence - Aix-Marseille I 1997
• Subjects: [MATH:MATH_DS] Mathematics/Dynamical Systems; [MATH:MATH_DS] Mathématiques/Systèmes dynamiques; opérateur aléatoire de Schrödinger; spectre; densité intégrée d'états; potentiel discret; potentiel périodique; potentiel substitutif; odomètre; opérateur creux
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00965017; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/96/50/17/PDF/ThA_se_GuilleBiel_Winder.versiondefinitive.pdf

Ce mémoire s'inscrit dans le contexte général des opérateurs aléatoires discrets unidimensionnels. Dans ce cadre (chapitre 1), nous dégageons des éléments remarquables du système dynamique conduisant à des opérateurs ayant le même spectre. D'autre part, les principales propriétés spectrales des des opérateurs de Schrödinger sont décrites. En particulier la densité intégrée d'états est explicitement donnée pour un opérateur à potentiel périodique. Dans le chapitre 2, nous introduisons à partir du 2-odomètre, un nouveau potentiel, dit odométrique, qui est limite périodique et de type Gordon. Une approximation de la mesure de Lebesgue du spectre de tous ces opérateurs est obtenue. Enfin le chapitre 3 est consacré à l'étude des propriétés spectrales d'une nouvelle famille d'opérateurs, les opérateurs creux, définis par Hp = Sp + S-p + V (où S désigne l'opérateur décalage sur l2(Z), p un entier non nul, et V un potentiel). Dans certains cas particuliers, nous montrons que la nature du spectre de presque tous ces opérateurs ne dépend pas de p. Nous donnons des applications lorsque le potentiel est périodique, aléatoire, puis substitutif.