Ein einparametrischer Zugang zur Lösung von Vektoroptimierungsproblemen in halbgeordneten endlichdimensionalen Räumen

• Main Author: Mbunga, Paulo
• Other Authors: Tammer, Christian
• Format: Doctoral Thesis
• Language: German
• Published: Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II 2007
• Subjects: Vektoroptimierung; Parametrische Optimierung; Kurvenverfolgungsmethoden; streng monoton wachsend skalarisierende Funktion; strukturelle Stabilität; Multiobjective optimization; parametric optimization; pathfollowing methods; strongly monotonically increasing function; structural stability; 510 Mathematik; 27 Mathematik; ddc:510
• Online Access: http://edoc.hu-berlin.de/18452/16292; http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:11-10078870; http://dx.doi.org/10.18452/15640

Im Mittelpunkt unserer Untersuchungen steht das mehrkriterielle Optimierungsproblem, in einer beliebigen nichtleeren Menge eines halbgeordneten endlich dimensionalen Raumes. Zu dessen Lösung betrachten wir ein Dialogverfahren, in dem der Entscheidungsträger in jedem Schritt seine Wünsche äußert. Bei der Bestimmung einer Lösung, die den Entscheidungsträger zufriedenstellt, müssen wir ein im Allgemeinen nichtkonvexes und nicht triviales skalares Optimierungsproblem lösen. Zur Lösung dieses Problems haben wir zwei Klassen einparametrischer Optimierungsprobleme (Einbettungen) konstruiert. Mit Hilfe der Projektion auf den konvexen Ordungskegel haben wir gezeigt, dass diese Einbettungen wohldefiniert sind. Im Gegensatz zu der in der Literatur untersuchten Standardeinbettung, sind die in dieser Arbeit betrachteten Einbettungen durch die Skalarisierungen der Vektoroptimierungsprobleme mittels streng monotoner skalarisierender Funktionen motiviert. Diese Untersuchung wird unter dem Gesichtspunkt der Theorie der einparametrischen Optimierungsprobleme für den Fall eines beliebigen spitzen polyedrischen Ordnungskegels durchgeführt. Sie umfasst z.B. Fragestellungen nach der Art der Singularitäten, die für die verschiedenen Einbettungen auftreten können, nach den Bedingungen, unter denen eine Zusammenhangskomponente in der Menge stationärer oder verallgemeinerter kritischer Punkte mit Hilfe von Kurvenverfolgungsmethoden numerisch beschrieben werden kann und nach den hinreichenden Bedingungen für die Existenz einer Lösungskurve. Anschließend haben wir das von Guddat und Jongen eingeführte Konzept der strukturellen Stabilität eines skalaren Optimierungsproblems in der Vektoroptimierung verallgemeinert und einen Zusammenhang zur strukturellen Stabilität eines Minimaxproblems erstellt. Dieses Minimaxproblem steht in starker Beziehung zur Skalarisierungsmethode der Vektoroptimierungsprobleme. === In this work we consider the multiobjective optimization in a subset of a partially orded finite dimensional space. In order to solve this problem we use a dialogue procedure in which the decision maker has to determine in each step the aspiration and reservation level expressing his wishes (goals). This leads to an optimization problem which is not easy to solve in the nonconvex case. We solve it proposing two classes of one-parametric optimization problems (embeddings). Using the projection in the ordering cone, we show that these embeddings are well defined, i.e. the corresponding constraint sets depending on real-valued parameters are not empty. Contrary to the very known standard embedding the proposed embeddings are motivated by the use of strongly monotonically increasing functions, which play an important role by the scalarization of multiobjective optimization problems. The two classes of embeddings are investigated from the point of view of parametric optimization considering a pointed polyhedral cone. This investigation includes the determination of the kind of singularities which can appear, the conditions under which a connected component in the set of stationary or generalized critical point can be numerically described using pathfollowing methods and a solution curve may exist. Finally, we extend the concept of structural stability by Guddat and Jongen to the multiobjective optimization problems and establish a connection to the problem of Minimax type, which is related to the scalarization of multiobjective optimization problems.