OPTIMIZATION OF SHELL STRUCTURES UNDER DYNAMIC LOADS

• Main Author: SUSANA ANGELICA FALCO MEIRA
• Other Authors: LUIZ ELOY VAZ
• Language: Portuguese
• Published: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 2000
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=2003@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=2003@2; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=2003@4

COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DO PESSOAL DE ENSINO SUPERIOR === O objetivo principal deste trabalho é desenvolver uma formulação e um programa para o projeto ótimo de estruturas de placas e cascas submetidas a carregamento dinâmico, no regime linear-elástico. Com este objetivo, utiliza-se o programa de Otimização Estrutural de Formas SHELLD que possui os módulos referentes à geração de malha, à análise estrutural, à análise de sensibilidade e ao algoritmo de otimização. A geração da malha da superfície da casca é feita através do mapeamento de uma malha 2D,gerada no plano paramétrico, para uma malha em 3D, usando as equações de Coons. Desta maneira, a geometria da casca de forma livre é representada usando superfícies de Coons as quais são formadas por duas séries de splines cúbicas que interceptam os pontos-chave que se encontram na superfície média. Uma vez discretizada a superfície da casca em elementos finitos,começa a etapa de análise dinâmica através do Método de Integração Direta de Newmark. O programa SHELLD utiliza o elemento finito de nove nós de Huang-Hinton, que pertence à família de elementos degenerados de cascas. O processo de otimização estrutural requer o uso seqüencial da análise estrutural e da análise de sensibilidade combinado com o algoritmo de otimização. Na análise de sensibilidade, através do Método Semi-analítico, calculam- se os gradientes da função-objetivo e das restrições em relação às variáveis de projeto para determinar a direção de busca do algoritmo de otimização. As variáveis do problema são as coordenadas e/ou as espessuras dos pontos-chave. Isto implica uma diminuição das variáveis de projeto e um maior controle na obtenção da forma da casca. No projeto de otimização de cascas podem ser consideradas diferentes funções-objetivo. Em alguns casos, busca-se manter tão baixo quanto possível o peso das mesmas e, portanto, o seu custo, impondo restrições que podem estar relacionadas com valores limites de deslocamentos, acelerações, freqüências ou tensões. Em outros casos, procura-se minimizar o deslocamento ou aceleração em um ponto da casca ou o seu deslocamento global tendo como restrição o seu volume permanecer constante. Nos problemas em vibração livre, deseja-se maximizar a freqüência correspondente ao modo de vibração que se quer enrijecer mantendo o volume constante. Em casos especiais de cascas que tem problemas de autovalores múltiplos,incorporam-se restrições nas freqüências para que não ocorram -clusters-. Para resolver o problema de otimização não-linear com restrições, escolhe-se o método de Programação Quadrática Seqüencial. O algoritmo de otimização é usado como -caixa preta-,extraído da biblioteca NAG do FORTRAN, pois é dada maior ênfase à formulação do problema de otimização que ao algoritmo de otimização utilizado como ferramenta de programação matemática. === The main goal of this work is to present a methodology and a computer code which allow the designer, by means of optimization techniques, to obtain efficient shapes of plate and shell structures under linear-elastic behavior and dynamic loads. With this objective, it is used the optimization program SHELLD that includes the geometric modeling, the mesh generation, the structural analysis by the FEM, the sensitivity analysis and the structural optimization algorithm. In this thesis, the geometry of the free-form shell is represented by Coon surfaces, which are formed by two series of cubic splines intercepting the key points, which lay on the midsurface.Once the shell surface is discretized in finite elements, the structural analysis starts. The structural response analysis is performed by means of the Newmark direct integration method. The finite element used is the 9 nodes Huang-Hinton element, which belongs to the family of elements degenerated from 3D elements.The aim of the sensitivity analysis is to determine gradients of the objective functions and constraints of the design optimization problem with respect to the design variables. The method used in this work for performing the sensitivity analysis is based on the total differentiation of the discrete dynamic equilibrium equations and derivatives of stiffness, mass and damping matrices are performed by means of the finite difference method. This methodology is known in the literature as the Semi-analytical Method for sensitivity analysis. The sizing and shape variables are the thickness and the lengths of the radii in the key points respectively, which implies in a decrease of the number of variables in the project. The design of shell structures under dynamic loads is a common problem in engineering practice. In order to obtain an optimal design of these structures one generally tries to keep as low as possible their weight or volume, in one word their cost, while constraining their structural response in terms of displacements, accelerations, frequencies or stress resultants. Alternatively one can minimize the displacement or acceleration at some point of the structure or its global displacement while keeping its volume constant. In the case of free vibration the objective is to maximize the frequency, corresponding to the vibration mode one wants to stiffen, keeping the shell volume constant. In special cases of shells with multiple eigenvalues, try to keep as low as possible their volume considering frequency constrains to avoid clusters.To solve the nonlinear constrained optimization problem at hand the Sequential Quadratic Programming algorithm (SQP) from NAG library of FORTRAN is used. In this thesis, we have placed more emphasis on how to formulate optimization problems appropriately rather than on the theory underlying -mathematical programming- optimization algorithms, i.e. we use the SQP algorithm essentially as -black box-. === EL objetivo principal de este trabajo es desarrollar una formulación y un programa para el proyecto óptimo de extructuras de placas y cascas sometidas a sobrecarga dinámica, en el régimen lineal elástico. Con este objetivo, se utiliza el programa de Optimización Extructural de Formas SHELLD que posee los módulos referentes a la generación de malla, al análisis extructural, al análisis de sensibilidad y al algoritmo de optimización. La generación de la malla de la superficie de la casca se realiza través del mapeamento de una malla 2D, generada en el plano paramétrico, para una malla en 3D, usando las ecuaciones de Coons. De esta manera, la geometría de la casca de forma libre se representa usando superficies de Coons, formadas por dos séries de splines cúbicas que interceptan los puntos claves que se encuentran en la superfície media. Una vez discretizada la superfície de la casca en elementos finitos,comienza la etapa de análisis dinámico a través del Método de Integración Directa de Newmark. EL programa SHELLD utiliza el elemento finito de nueve nodos de Huang Hinton, que pertenece a la familia de elementos degenerados de cascas. EL proceso de optimización extructural requiere el uso secuencial del análisis extructural y del análisis de sensibilidad combinado con el algoritmo de optimización. En el análisis de sensibilidad, a través del Método Semi analítico, se calculan los gradientes de la función objetivo y de las restricciones en relación a las variables de proyecto para determinar la dirección de búsqueda del algoritmo de optimización. Las variables del problema son las coordenadas y/o las espesuras de los puntos clave. Esto implica una diminuición de las variables de proyecto y un mayor control en la obtención de la forma de la casca. En el proyecto de optimización de cascas pueden ser consideradas diferentes funciones objetivo. En alguns casos, se busca mantener el peso de las mismas tan bajo como sea posible y, por tanto, el costo, imponiendo restricciones que pueden estar relacionadas con valores límites de desplazamientos, aceleraciones, frecuencias o tensiones. En otros casos, se busca minimizar el desplazamiento o aceleración en un punto de la casca o su desplazamiento global teniendo como restrición que el volumen permanezca constante. En los problemas en vibración libre, se desea maximizar la frecuencia correspondiente al modo de vibración que se quiere enrijecer manteniendo el volumen constante. En casos especiales de cascas que tiene problemas de múltiples valores propios, se incorporan restricciones en las frecuencias para que no ocurran clusters . Para resolver el problema de optimización no lineal con restricciones, se utiliza el método de Programación cuadrática Secuencial. El algoritmo de optimización es usado como caja negra,extrayendo de la biblioteca NAG del FORTRAN, pues se da mayor énfasis a la formulación del problema de optimización que al algoritmo de optimización utilizado como herramienta de programación matemática.