Cálculo numérico da forma normal de Floquet e aplicações em controle de sistemas dinâmicos

• Main Author: Marcus Vinicius de Oliveira
• Other Authors: Sylvie M Oliffson Kamphorst L S
• Format: Others
• Language: Portuguese
• Published: Universidade Federal de Minas Gerais 2013
• Online Access: http://hdl.handle.net/1843/EABA-9DEHQY

=== This work presents a rigorous numerical method to compute the Floquet Normal Form X(t) = Q(t)etR for a given Fundamental Solution of a _??periodic Linear Di_erential Equation. This problem is replaced by solving an equation f(x) = 0 such that f : s ! s, is de_ned in a suitable Banach Space s. The Method aims to _nd an approximate solution _x to the equation f(x) = 0 and r > 0 such that there exists a point x_ 2 B(_x;01)(r) _ s, f(x_) = 0. The technique is based on the de_nition of an operator T : s ! s whose _xed points are solutions of the equation f(x) = 0. Thus, the numerical technique allows to calculate r so that T : B(_x;01)(r) ! B(_x;01)(r) is a contraction, providing conditions to applicate the Banach Fixed Point Theorem to ensure the existence of a _xed point of the operator T, and hence the existence of a solution to the equation f(x) = 0 in B(_x;01)(r). Radii Polinomials, presented in [11], [27] and [5], are used to compute r. In order to prevent a loss of accuracy due to rounding errors, we use interval arithmetic for performing the calculations. A MATLABR 2008 code is used to implement the numerical method described. It's also addressed the application of the Floquet Normal Form in the control of two classical dynamic systems, Forced Pendulum and Du_ng Oscillator. The goal is that the orbits of these systems become asymptotically close to a desired trajectory y : R ! R, lim t!1 [x (t) ?? y (t)] = 0. This problem is often replaced in Electrical Engineering by its linearized version, which leads to the use of Floquet Normal Form. Chapter 1 provides an introduction to the Floquet theory and other results used in the rest of the work. Chapter 2 contains a description of the numerical method for calculating the Floquet normal form and its proof. Chapter 3 provides details of the method as a computational algorithm. Chapter 4 contains the application of Floquet normal form to the control of the Forced Pendulum and the Du_ng Oscillator, as previously mentioned. Appendices present concepts and auxiliary statements used throughout the work. Key Words: Floquet Theory, Periodic Linear Systems, Rigorous Numerical Method, Radii Polinomials, Control. === Este trabalho apresenta um método numérico rigoroso para calcular a Forma Normal de Floquet X(t) = Q(t)etR de uma solução. Fundamental de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares R-periódicas x0 = A(t)x, com A(t + ) = A(t) 8t 2 R. Este problema pode ser resolvido através da solução de uma equação do tipo f(x) = 0 em que f : s ! s, com s um espaco de Banach adequadamente definido. Dessa forma, o método apresentado neste trabalho busca obter uma solução aproximada x para f(x) = 0 e r > 0 tal que seja garantida a existência de x 2 B(x;01)(r) s com f(x) = 0. A técnica baseia-se na definição de um operador T : s ! s cujos pontos xos são soluçõess da equação f(x) = 0 e tal que T : B(x;01)(r) ! B(x;01)(r) seja uma contração, possibilitando a aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach. Assim, garante-se a existência de ponto xo de T e, consequentemente, a existência de uma solução para f(x) = 0, em B(x;01)(r). Para calcular r é utilizada a técnica dos Polinmios Radii, apresentada em [11], [27] e [5]. Para a realização dos cálculos é aplicada a Aritmética de Intervalos, de forma a garantir que erros de arredondamento não comprometam o rigor do método. Um algoritmo escrito em MATLABR 2008 foi utilizado para implementação prática. São apresentados exemplos de aplicação da Forma Normal de Floquet no Controle de dois sistemas dinâmicos,o Pêndulo Forçado e o Oscilador Duffing. O objetivo é fazer com que órbitas desses sistemas se aproximem assintoticamente de uma trajetória periódica desejada y : R ! R, ou seja, limt!1[x (t) y (t)] = 0 . Esse problema é constantemente substitudo em Engenharia Elétrica por uma vers~ao linearizada, o que conduz da utilização da Forma Normal de Floquet. O algoritmo desenvolvido como implementação do método demonstrado no Capítulo 2 é utilizado para obter a forma normal de Floquet das matrizes fundamentais das equações obtidas no Capítulo 4. Embora trate-se de um problema de controle baseado numa aproximação linear, a aplicação de um algoritmo rigoroso serve como motivação de aplicação. O Capítulo 1 apresenta uma introdução da Teoria da Floquet e resultados utilizados no restante do trabalho. O Capítulo 2 contém a descrição do método numérico de cálculo da Forma Normal de Floquet e sua demonstração. O Capítulo 3 apresenta detalhes da implementação do método em um algoritmo computacional. O Capítulo 4 contém a aplicação da Forma Normal de Floquet ao controle do Pêndulo Forçado e do Oscilador Duffing, como citado anteriormente. Nos apêndices são apresentados conceitos e demonstrações auxiliares utilizadas ao longo do trabalho, inclusive uma generalização da Teoria de Floquet para uma classe de sistemas não lineares Palavras-chave: Teoria de Floquet, Sistemas Lineares Periódicos, Método Numérico Rigoroso, Polinômios Radii, Controle.