Equações diofantinas envolvendo sequências de fibonacci generalizadas

• Main Author: Vieira, Vinicius Facó Ventura
• Other Authors: Ferreira, Diego Marques
• Language: Portuguese
• Published: 2017
• Subjects: Equações diofantinas; Sequências (Matemática); Análise fatorial; Números de Fibonacci
• Online Access: http://repositorio.unb.br/handle/10482/22666

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. === Submitted by Camila Duarte ([e-mail]) on 2016-07-18T17:45:52Z No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) === Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva([e-mail]) on 2017-02-19T19:50:15Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) === Made available in DSpace on 2017-02-19T19:50:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) === A famosa e amplamente estudada sequência de Fibonacci é determinada pela recorrênciaFn= Fn-1 + Fn-2, onde F0 = 0 e F1 = 1. Podemos estender essa sequência para sequências recorrentes de ordem maior. Logo, para k ≥ 2 e n ≥ −(k − 2), sejaF(k)n = F(k)n-1 + ∙∙∙ + F(k)n-k, onde F(k)-(k-2) = ∙∙∙ = F(k)-1 = F(k)0 = 0 e F(k)1 = 1. Vamos estudar algumas equações Diofantinasenvolvendo tais sequências. Num primeiro momento, lembramos que um número perfeito é um natural que é soma de seus divisores próprios. Então, vamos aplicar formas lineares em logaritmo para achar números perfeitos pares em sequências de Fibonacci generalizadas. Em outras palavras, vamos estudar a equaçãoF(k)n = 2p-1(2p-1). Em outro problema, vamos estudar a valorização 2−ádica de F(k)n quando k = 4, a fim de procurar fatoriais nessa sequência, ou seja, vamos estudar a equaçãoQn = m!. Também, vamos usar técnicas parecidas para resolver um caso particular da equação de Brocard-Ramanujan, n2 = m! + 1, quando o inteiro né um número da sequência mencionada previamente. === The famous and widely studied Fibonacci sequence is determined by there currence Fn= Fn-1 + Fn-2, where F0 = 0 and F1 = 1. We can extend this sequence for higher order recurrences. So, for k ≥ 2 and n ≥ −(k − 2), let F(k)n = F(k)n-1 + ∙∙∙ + F(k)n-k, where F(k)-(k-2) = ∙∙∙ = F(k)-1 = F(k)0 = 0 and F(k)1 = 1.We shall study some Diophantine equations involving such sequences. First, were call that a perfect number is a natural number which equals the sum of all its proper divisors. Then, we shall apply linear forms in logarithms to find even perfect numbers in genereralized Fibonacci sequences. In other words, we shall study the Diophantine equation F(k)n = 2p-1(2p-1).In another problem, we shall study the 2− adic valuation ofF(k)n, when k = 4, in order to find factorials in that sequence, i.e., we shall study the equation Qn= m!. Also, we shall use similar techniques to solve a particular case of the Brocard-Ramanujan equation, n2 = m! + 1, when the integern is a number of the previously mentioned sequence.