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Previous issue date: 2010-12-01 === Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior === The basic concepts of what later became called category theory were introduced in 1945 by
Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. In 1940s, the main applications were originally
in the fields of algebraic topology and algebraic abstract. During the 1950s and 1960s, this
theory became an important conceptual framework in other many areas of mathematical
research, especially in algrebraic homology and algebraic geometry, as shows the works of
Daniel M. Kan (1958) and Alexander Grothendieck (1957). Late, questions mathematiclogics
about the category theory appears, in particularly, with the publication of the
Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) of Francis Willian Lawvere. After,
other works are done in the category logic, such as the the current Makkai (1977), Borceux
(1994), Goldblatt (2006), and others. As introduction of application of the category theory
in logic, this work presents a study on the logic category propositional. The first section
of this work, shows to the reader the important concepts to a better understanding of
subject: (a) basic components of category theory: categorical constructions, definitions,
axiomatic, applications, authors, etc.; (b) certain structures of abstract algebra: monoids,
groups, Boolean algebras, etc.; (c) some concepts of mathematical logic: pre-order, partial
orderind, equivalence relation, Lindenbaum algebra, etc. The second section, it talk
about the properties, structures and relations of category propositional logic. In that
section, we interpret the logical connectives of the negation, conjunction, disjunction and
implication, as well the Boolean connectives of complement, intersection and union, in
the categorical language. Finally, we define a categorical boolean propositional semantics
through a Boolean category algebra. === Os conceitos básicos do que mais tarde seria chamado de teoria das categorias são introduzidos
no artigo General Theory of Natural Equivalences (1945) de Samuel Eilenberg e
Saunders Mac Lane. Já em meados da década de 1940, esta teoria é aplicada com sucesso
ao campo da topologia. Ao longo das décadas de 1950 e 1960, a teoria das categorias ostenta
importantes mudanças ao enfoque tradicional de diversas áreas da matemática, entre
as quais, em especial, a álgebra geométrica e a álgebra homológica, como atestam os pioneiros
trabalhos de Daniel M. Kan (1958) e Alexander Grothendieck (1957). Mais tarde,
questões lógico-matemáticas emergem em meio a essa teoria, em particular, com a publica
ção da Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) de Francis Willian Lawvere.
Desde então, diversos outros trabalhos vêm sendo realizados em lógica categórica, como
os mais recentes Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), entre outros. Como
inicialização à aplicação da teoria das categorias à lógica, a presente dissertação aduz um
estudo introdutório à lógica proposicional categórica. Em linhas gerais, a primeira parte
deste trabalho procura familiarizar o leitor com os conceitos básicos à pesquisa do tema:
(a) elementos constitutivos da teoria das categorias : axiomática, construções, aplicações,
autores, etc.; (b) algumas estruturas da álgebra abstrata: monóides, grupos, álgebra de
Boole, etc.; (c) determinados conceitos da lógica matemática: pré-ordem; ordem parcial;
equivalência, álgebra de Lindenbaum, etc. A segunda parte, trata da aproximação da
teoria das categorias à lógica proposicional, isto é, investiga as propriedades, estruturas
e relações próprias à lógica proposicional categórica. Nesta passagem, há uma reinterpreta
ção dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção e implicação, bem como
dos conectivos booleanos de complemento, interseção e união, em termos categóricos. Na
seqüência, estas novas concepções permitem enunciar uma álgebra booleana categórica,
por meio da qual, ao final, é construída uma semântica proposicional booleana categórica.
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