| Summary: | Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas === Este trabalho visa obter estimativas para o primeiro autovalor não-nulo de Steklo.
Nos concentramos, basicamente, em três artigos de J. F. Escobar, publicados nos anos
1997, 1999 e 2000. Nestes artigos, são obtidas estimativas para o primeiro autovalor
não-nulo de Steklo em função da geometria da variedade Riemanianna.
Inicialmente, demonstramos um teorema afirmando que para o problema de Steklo
em uma superfície compacta, com curvartura Gaussiana não-negativa e curvatura
geodésica da fronteira limitada inferiormente por uma constante positiva c, o primeiro
autovalor não-nulo de Steklo é necessariamente maior ou igual a c e, além disso, a
igualdade ocorre se, e somente se, a superfície é o disco Euclidiano. Este resultado é
obtido usando a fórmula de Bochner-Lichnerowicz e o Princípio do Máximo.
No problema de Steklo em variedades Riemannianas n-dimensionais, com n 3,
mostramos uma estimativa para o primeiro autovalor não-nulo de Steklo em função do
primeiro autovalor não-nulo do Laplaciano no bordo da variedade dada. Apresentamos
também uma conjectura feita por Escobar afirmando que o teorema descrito no parágrafo
anterior tambám é verdadeiro para dimensões maiores ou igual a três. Esta conjectura se
encontra em aberto e mostramos uma contribuição para a mesma exibindo uma estimativa
aproximada, embora não tão ótima, feita por Escobar em 1999.
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