ExistÃncia de atrator para um sistema de equaÃÃes de evoluÃÃo
Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico === Neste trabalho, estudaremos o comportamento no infinito do seguinte problema de Cauchy iut + uxx − uv + i∞u = f(x) , x 2 R, t > 0 (1) vt + _ βv + γ (|u|2)x = g(x) , x 2 R,...
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Universidade Federal do CearÃ
2006
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ndltd-IBICT-oai-www.teses.ufc.br-5032019-01-21T22:14:39Z ExistÃncia de atrator para um sistema de equaÃÃes de evoluÃÃo Gleydson Chaves Ricarte Josà FÃbio Bezerra Montenegro Cleon da Silva Barroso Amauri da Silva Barros atrator sistemas de equaÃÃes cauchy ANALISE Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico Neste trabalho, estudaremos o comportamento no infinito do seguinte problema de Cauchy iut + uxx − uv + i∞u = f(x) , x 2 R, t > 0 (1) vt + _ βv + γ (|u|2)x = g(x) , x 2 R, t > 0 (2) associadas Ãs condiÃÃes iniciais u(x, 0) = u0(x) , v(x, 0) = v0(x) , x 2 Є R. (3) A tÃcnica usada no trabalho consiste em trÃs etapas: 1. Mostrar a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua dos dados iniciais e associar (4)-(6) uma famÃlia de operadores {S(t) : t ≥ 0} satisfazendo as propriedades de semigrupo da seguinte forma: Para todo t ≥ 0 S(t) H → H u0 →! S(t)u0 := u(t) Є H, onde ξ 0 = (u0, v0) à o dado inicial e (u(t), v(t)) Є H à a soluÃÃo de (4)-(6)1 2. ExistÃncia de um conjunto limitado absorvente em h via estimativas a priori, isto Ã, um conjunto limitado B(esta contido) H que atrai as Ãrbitas(2) numa razÃo exponencial. _________________________ 1No nosso caso iremos tomar H = H1(R) à L2(R). 2Definimos a Ãrbita ou trajetÃrias passando por ξ 0 como sendo γ (ξ 0) = U [t≥0S(t) ξ 0 = {(u(t), v(t)) : t≥ 0}. 3. Por fim, existÃncia de um atrator global A(para todo) H para o sistema (4)- (6), isto Âe, A à um conjunto compacto de H, invariante por S(t) (ou seja S(t)A = A , para todo t ≥0) e atrai todas as Ãrbitas do sistema quando t → ∞ Para obtermos Ãxito, organizamos o trabalho como segue: No capÃtulo 2, obtemos estimativas a priori e conjuntos limitados absorventes. No capÃtulo 3, mostramos a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua dos dados iniciais. No capÃtulo 4, decompomos o semigrupo da soluÃÃo em duas partes, uma uniformemente limitado em H2(R) à H1(R) e outra decaindo exponencialmente em H1(R) à L2(R). No capÃtulo 5, mostramos a compacidade assintotica do operador soluÃÃo e finalmente no capÃtulo 6, provamos o resultado principal: Teorema 0.1 Assuma que f Є L2(R), g Є H1(R). EntÃo o operador soluÃÃo S(t) de (4)-(5) Âe um sistema dinÃmico contÃnuo em X1 = H1à L2(R) e possui um atrator global A satisfazendo (a) A Âe compacto em X1 = H1 à L2(R), (b) S(t)A = A , 8 t ≥ 0, (c) para todo B(esta contido) X1 limitado, Lim distx1 (S(t) B, A) = 0 2006-02-16 info:eu-repo/semantics/publishedVersion info:eu-repo/semantics/masterThesis http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=435 http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=439 por info:eu-repo/semantics/openAccess application/pdf application/pdf Universidade Federal do Cearà Programa de PÃs-GraduaÃÃo em MatemÃtica UFC BR reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC instname:Universidade Federal do Ceará instacron:UFC |
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Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico ===
Neste trabalho, estudaremos o comportamento no infinito do seguinte
problema de Cauchy
iut + uxx − uv + i∞u = f(x) , x 2 R, t > 0 (1)
vt + _ βv + γ (|u|2)x = g(x) , x 2 R, t > 0 (2)
associadas Ãs condiÃÃes iniciais
u(x, 0) = u0(x) , v(x, 0) = v0(x) , x 2 Є R. (3)
A tÃcnica usada no trabalho consiste em trÃs etapas:
1. Mostrar a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua dos dados iniciais
e associar (4)-(6) uma famÃlia de operadores {S(t) : t ≥ 0} satisfazendo
as propriedades de semigrupo da seguinte forma: Para todo
t ≥ 0
S(t) H → H
u0 →! S(t)u0 := u(t) Є H,
onde ξ 0 = (u0, v0) Ã o dado inicial e (u(t), v(t)) Є H Ã a soluÃÃo de
(4)-(6)1
2. ExistÃncia de um conjunto limitado absorvente em h via estimativas a
priori, isto Ã, um conjunto limitado B(esta contido) H que atrai as Ãrbitas(2) numa
razÃo exponencial.
_________________________
1No nosso caso iremos tomar H = H1(R) Ã L2(R).
2Definimos a Ãrbita ou trajetÃrias passando por ξ 0 como sendo γ (ξ 0) = U [t≥0S(t) ξ 0 =
{(u(t), v(t)) : t≥ 0}.
3. Por fim, existÃncia de um atrator global A(para todo) H para o sistema (4)-
(6), isto Âe, A Ã um conjunto compacto de H, invariante por S(t) (ou
seja S(t)A = A , para todo t ≥0) e atrai todas as Ãrbitas do sistema
quando t → ∞
Para obtermos Ãxito, organizamos o trabalho como segue: No capÃtulo
2, obtemos estimativas a priori e conjuntos limitados absorventes. No
capÃtulo 3, mostramos a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua
dos dados iniciais. No capÃtulo 4, decompomos o semigrupo da soluÃÃo
em duas partes, uma uniformemente limitado em H2(R) Ã H1(R) e
outra decaindo exponencialmente em H1(R) Ã L2(R). No capÃtulo 5,
mostramos a compacidade assintotica do operador soluÃÃo e finalmente
no capÃtulo 6, provamos o resultado principal:
Teorema 0.1 Assuma que f Є L2(R), g Є H1(R). EntÃo o operador
soluÃÃo S(t) de (4)-(5) Âe um sistema dinÃmico contÃnuo em X1 = H1Ã L2(R) e possui um atrator global A satisfazendo
(a) A Âe compacto em X1 = H1 Ã L2(R),
(b) S(t)A = A , 8 t ≥ 0,
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