[en] ISOPERIMETRIC PROBLEMS IN THE MINKOWSKI PLANE

• Main Author: MARCELO CHAVES SILVA
• Other Authors: MARCOS CRAIZER
• Language: pt
• Published: MAXWELL 2016
• Subjects: [pt] GEOMETRIA DIFERENCIAL; [en] DIFFERENTIAL GEOMETRY; [pt] PLANO NORMADO; [en] NORMED PLANE; [pt] NORMA DUAL; [pt] DESIGUALDADE DE MINKOWSKI; [en] MINKOWSKI INEQUALITY
• Online Access: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=25618@1; https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=25618@2; http://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.25618

[pt] O objetivo principal deste trabalho é resolver o problema isoperimétrico no plano de Minkowski, isto é, determinar dentre todas as curvas convexas, fechadas, simples e suaves de perímetro fixo de um plano munido com uma norma qualquer, qual é aquela que delimita a maior área. Mostraremos que a solução para este problema não é necessariamente o círculo como no caso euclideano e sim uma curva conhecida como isoperimetrix. Para isto, vamos demonstrar a desigualdade de Minkowski a partir do conceito de área mista. Em seguida, vamos determinar se há outros casos (além do caso euclideano) em que o círculo coincide com o isoperimetrix. Também iremos mostrar que o perímetro da bola nestes planos pode assumir qualquer valor real entre seis e oito, sendo seis quando a bola for um hexágono regular afim e oito quando for um paralelogramo. === [en] The main objective of this work is to solve the isoperimetric problem in the Minkowski plane, i. e., determine among all smooth simple closed convex curves of a normed plane with fixed perimeter, what is that which defines the largest area. We will show that the solution to this problem is not necessarily the circle as in the Euclidean case, but a curve known as isoperimetrix. For this, we will demonstrate the Minkowski inequality from the concept of mixed area. Then, we determine if there are other cases (apart from the Euclidean case) in which the circle coincides with the isoperimetrix. We will also show that the ball perimeter in a normed plane can take any real value between six and eight. It is six when the ball is an affine regular hexagon and eight when it is a parallelogram.