Interactions d’ondes et de bord

• Main Author: Marcou, Alice
• Other Authors: Bordeaux 1
• Language: en
• Published: 2011
• Subjects: Ondes de surface; Problèmes aux limites non linéaires; Développement BKW; Développement asymptotique rigoureux; Ondes de Rayleigh non linéaires; Rectification; Élasticité; Réflexion de discontinuités; Problèmes aux limites hyperboliques non linéaires faiblement stables; Condition faible de Lopatinski; Condition (WR); Perte d'une dérivée; Solutions striées; Surface waves; Nonlinear boundary value problems; WKB expansion; Rigorous asymptotic expansion; Non linear Rayleigh waves; Elasticity; Reflection of discontinuities; Nonlinear weakly stable hyperbolic IBVP; Weak Lopatinski condition; (WR) condition; Loss of one derivative; Striated solutions
• Online Access: http://www.theses.fr/2011BOR14267/document

Tout d'abord, des ondes de surface, solutions de problèmes aux limites hyperboliques non linéaires, sont étudiées : on construit une solution BKW sous forme de développement infini en puissance de epsilon. On le justifie rigoureusement, en construisant une solution exacte, qui admet ce développement asymptotique. On montre que la solution n'est pas nécessairement purement localisée sur la frontière, même lorsque le terme source l'est ; l'exemple d'un cas particulier de l'élasticité est traité. Ensuite, on étudie la réflexion d'ondes non linéaires discontinues, pour des problèmes aux limites hyperboliques, faiblement bien posés, ni fortement stables, ni fortement instables. On étudie comment les singularités d'une solution striée sont réfléchies lorsque la solution atteint la frontière. On prouve des estimations striées et en normes infinies. On montre qu'une discontinuité du gradient de la solution à travers un hyperplan peut être réfléchie en une discontinuité de la solution elle-même. === We first study surface waves, solutions of hyperbolic nonlinear boundary value problems. We construct BKW solutions in the weakly nonlinear regime with infinite expansion in powers of ε. We rigorously justify this expansion,constructing exact solutions, which admit the asymptotic expansions. We also show that the solution is not necessarily localized at the order O(ε∞) in the interior, even if the data are ; a particular case of elasticity is studied: we prove that fast oscillatory elastic surface waves can produce non trivial internal non oscillatory displacements.Afterwards, we study the reflection of non linear discontinuous waves, for weakly well-posed hyperbolic boundary value problems, satisfying the (WR) condition, which has been introduced in [1, 12], that is in a case where the IBVP is neither strongly stable, nor strongly unstable. We study how the singularities of a striated solution are reflected when the solution hits the boundary. We prove striated estimates and L∞ estimates and observe the loss of one derivative: we show that a discontinuityof the gradient of the solution across an hyperplane can be reflected in a discontinuity across an hyperplane of the solution itself.