Sur des problèmes topologiques de la géométrie systolique.

• Main Author: Bulteau, Guillaume
• Other Authors: Montpellier 2
• Language: fr
• Published: 2012
• Subjects: Systole; Volume systolique; Cycles géométriques réguliers; Technique de régularisation; Complexité simpliciale; Triangulations minimales; Systolic volume; Regular geometric cycle; Regularization technique; Simplicial complexity; Minimal triangulations
• Online Access: http://www.theses.fr/2012MON20148/document

Soit G un groupe de présentation finie. Un résultat de Gromov affirme l'existence de cycles géométriques réguliers qui représentent une classe d'homologie non nulle h dans le énième groupe d'homologie à coefficients entiers de G, cycles géométriques dont le volume systolique est aussi proche que souhaité du volume systolique de h. Ce théorème, dont aucune démonstration exhaustive n'avait été faite, a servi à obtenir plusieurs résultats importants en géométrie systolique. La première partie de cette thèse est consacrée à une démonstration complète de ce résultat. L'utilisation de ces cycles géométriques réguliers est connue sous le nom de technique de régularisation. Cette technique permet notamment de relier le volume systolique de certaines variétés fermées à d'autres invariants topologiques de ces variétés, tels que les nombres de Betti ou l'entropie minimale. La seconde partie de cette thèse propose d'examiner ces relations, et la mise en oeuvre de la technique de régularisation.La troisième partie est consacrée à trois problèmes liés à la géométrie systolique. Dans un premier temps on s'intéresse à une inégalité concernant les tores pleins plongés dans l'espace tridimensionnel. Puis, on s'intéresse ensuite aux triangulations minimales des surfaces compactes, afin d'obtenir des informations sur le volume systolique de ces surfaces. Enfin, on présente la notion de complexité simpliciale d'un groupe de présentation finie, et ses liens avec la géométrie systolique. === Let G be a finitely presented group. A theorem of Gromov asserts the existence of regular geometric cycles which represent a non null homology class h in the nth homology group with integral coefficients of G, geometric cycles which have a systolic volume as close as desired to the systolic volume of h. This theorem, of which no complete proof has been given, has lead to major results in systolic geometry. The first part of this thesis is devoted to a complete proof of this result.The regularizationtechnique consists in the use of these regular geometric cycles to obtain information about the class $h$. This technique allows to link the systolic volume of some closed manifolds to homotopical invariants of these manifolds, such as the minimal entropy and the Betti numbers. The second part of this thesis proposes to investigate these links.The third part of this thesis is devoted to three problems of systolic geometry. First we are investigating an inequality about embeded tori in $R^3$. Second, we are looking into minimal triangulations of compact surfaces and some information they can provide in systolic geometry. And finally, we are presenting the notion of simplicial complexity of a finitely-presented group and its links with the systolic geometry.