| Summary: | The fundamental motivation for the work in this thesis is the analysis of the optimal control of hybrid systems on Riemannian manifolds using the language of differential geometry. Hybrid systems theory constitutes one of the major frameworks within which one may model and analyze the behaviour of large and complex systems; in particular, the optimal control of hybrid systems has been a focus of research over the last decades resulting in the important generalization of Minimum (Maximum) Principle of classic optimal control to hybrid systems. In the work of Shaikh and Caines (2007) and their predecessors, a formulation for a class of optimal control problems for general hybrid systems with nonlinear dynamics and autonomous or controlled switchings at switching states and times is proposed. In this thesis we extend the framework of Shaikh and Caines (2007) to a general class of hybrid systems defined on Riemannian manifolds. Due to the formulation generality, this class of hybrid systems covers a vast range of practical examples arising in such different areas as mechanical systems, chemical processes, air traffic control systems and cooperative robotic manipulator systems. In this thesis, a formulation for general hybrid systems on differentiable Riemannian manifolds is first presented. In the case of autonomous switchings, switching manifolds are modelled by embedded orientable submanifolds of the ambient state manifold and consequently hybrid optimal control problems are defined for hybrid systems in this general setting. Second, the classic Minimum Principle is extended to the Hybrid Minimum Principle (HMP) yielding the optimality necessary conditions for hybrid systems at the optimal switching states and times. The HMP statement in this thesis is obtained by employing the so-called needle control variation in the control value space. This class of control variations results in state trajectory variations along the nominal state trajectory in the ambient state manifold where the optimality conditions are derived by analyzing the cost function variation with respect to state variations. Third, in order to optimize switching states and times, numerical optimization algorithms (Gradient Geodesic-HMP, Newton Geodesic-HMP) are formulated by employing the HMP equations on general Riemannian state manifolds. The convergence analysis for the proposed algorithms is based upon the LaSalle Invariance Theorem. Technically these algorithms generalize the standard steepest descent and Newton methods in Euclidean spaces to Reimannian manifolds by employing the notion of Levi-Civita connections. Fourth, the derivation of the HMP results for hybrid systems on Riemannian manifolds is carried out for hybrid systems on Lie groups. The group structure of the ambient state manifold gives rise to a special form for the adjoint processes and Hamiltonian functions as the solutions for the optimality equations. In this thesis hybrid optimal control problems on Lie groups are only considered for the class of left invariant systems, however, the analysis can be easily modified to right invariant systems. In the setting of left invariant hybrid systems on Lie groups, the Gradient Geodesic-HMP and Newton Geodesic-HMP algorithm are modified into algorithms called the Gradient Exponential-HMP and Newton Exponential-HMP algorithms. The fifth and last part of the thesis focuses on the problem of optimization of autonomous hybrid optimal control problems with respect to the geometrical features of switching manifolds. Such features include first order and second order information on the switching manifolds such as curvature tensors and normal differential forms. === La motivation première du travail accompli dans cette thèse est l'analyse du contrôle optimal de systèmes hybrides sur les variétés riemanniennes en utilisant le language de la géométrie differentielle. La théorie des systèmes hybrides constitue un des cadres majeurs dans lequel on peut modeler et analyser le comportement de systèmes grands et complexes; en particulier, le contrôle optimal de systèmes hybrides a été le centre d'intérêt des recherches dans les décennies précédentes ayant comme résultat une importante généralisation du Principe Minimum (Maximum) du contrôle optimal classique aux systèmes hybrides.Le travail de Shaikh et Caines (2007) et leurs prédécesseurs propose une formule pour une classe de problèmes de contrôle optimal pour les systèmes hybrides généraux avec des dynamiques non linéaires et autonomes ou des commutations contrôlées aux états et temps de commutation. Cette thèse élargit le cadre de Shaikh et Caines (2007) à une classe générale de systèmes hybrides définis sur les variétés riemanniennes. En raison de la nature générale de la formulation, cette classe de systèmes hybrides couvre un vaste éventail d'exemples pratiques survenant dans différents domaines tels que les systèmes mécaniques, les procédés chimiques, le contrôle des systèmes de navigation aérienne, ainsi que les systèmes de manipulation de la robotique coopérative. Premièrement, cette thèse présente une formulation pour le cas des systèmes hybrides généraux sur les variétés riemaniennes différentielles. Dans le cas des commutations autonomes, les variétés de commutation sont modélisées par les sous-variétés prolongées et orientables de la variété d'état ambiante et conséquemment, les problèmes de contrôle optimal hybrides sont définis pour les systèmes hybrides dans ce contexte général. Deuxièmement, le Principe Minimum classique est étendu au Principe Minimum Hybride (HMP), produisant les conditions nécessaires d'optimalité pour les systèmes hybrides aux états et temps optimaux de commutation. L'énoncé du Principe Minimum Hybride (HMP) dans cette thèse est obtenu en utilisant la commande de variation d'aiguille, ainsi nommée, dans l'espace de valeur de contrôle. Cette classe de variation donne des variations de trajectoire au long de la trajectoire d'état nominale dans la variété d'état ambiante. Les conditions d'optimalité sont obtenues en analysant la variation de la fonction de coût en respectant les variations d'état. Finalement, la dernière partie de la thèse met l'accent sur la question d'optimisation des problèmes de contrôle optimal autonomes hybrides en ce qui concerne les caractéristiques géométriques des variétés de commutation. De telles caractéristiques comprennent des informations de premier et de second ordre sur les variétés de commutation telles que les tenseurs de courbures et les formes différentielles normales.
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