Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type
Soit P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré n et M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $...
Main Author: | |
---|---|
Other Authors: | |
Language: | en |
Published: |
2014
|
Subjects: | |
Online Access: | http://hdl.handle.net/1866/11087 |
id |
ndltd-umontreal.ca-oai-papyrus.bib.umontreal.ca-1866-11087 |
---|---|
record_format |
oai_dc |
spelling |
ndltd-umontreal.ca-oai-papyrus.bib.umontreal.ca-1866-110872017-06-13T17:19:44Z Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type Hachani, Mohamed Amine Rahman, Qazi Ibadur Giroux, André Bernstein's inequality Polynomial and trigonometric polynomial Entire functions of exponential type Schwarz-Pick theorem Inégalité de Bernstein Polynôme et polynôme trigonométrique Fonctions entières de type exponentiel Théorème de Schwarz-Pick Intégrale infinie Théorème des trois cercles d'Hadamard Infinite integral Hadamard's three circles theorem Mathematics / Mathématiques (UMI : 0405) Soit P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré n et M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$ D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions. Let P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ a polynomial of degree n and M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|$. Without any additional restriction, we know that $|P '(z) | \leq Mn$ for $| z | \leq 1$ (Bernstein's inequality). Now if we assume that the zeros of the polynomial $P$ are outside the circle $| z | = k$, which improvement could be made to the Bernstein inequality? It is already known [{\bf \ref{Mal1}}] that in the case where $k \geq 1$, one has$$ (*) \qquad | P '(z) | \leq \frac{n}{1 + k} M \qquad (| z | \leq 1),$$ what would it be in the case where $k < 1$? What is the analogous inequality for an entire function of exponential type $\tau$? On the other hand, if we assume that $P$ has all its zeros in $| z | \geq k \, \, (k \geq 1),$ which is the estimate of $| P '(z) |$ on the unit circle, in terms of the first four terms of its Maclaurin series expansion. This thesis comprises a contribution to the analytic theory of polynomials in the light of these problems. 2014-10-06T16:22:22Z NO_RESTRICTION 2014-10-06T16:22:22Z 2014-09-29 2014-06 Thèse ou Mémoire numérique / Electronic Thesis or Dissertation http://hdl.handle.net/1866/11087 en |
collection |
NDLTD |
language |
en |
sources |
NDLTD |
topic |
Bernstein's inequality Polynomial and trigonometric polynomial Entire functions of exponential type Schwarz-Pick theorem Inégalité de Bernstein Polynôme et polynôme trigonométrique Fonctions entières de type exponentiel Théorème de Schwarz-Pick Intégrale infinie Théorème des trois cercles d'Hadamard Infinite integral Hadamard's three circles theorem Mathematics / Mathématiques (UMI : 0405) |
spellingShingle |
Bernstein's inequality Polynomial and trigonometric polynomial Entire functions of exponential type Schwarz-Pick theorem Inégalité de Bernstein Polynôme et polynôme trigonométrique Fonctions entières de type exponentiel Théorème de Schwarz-Pick Intégrale infinie Théorème des trois cercles d'Hadamard Infinite integral Hadamard's three circles theorem Mathematics / Mathématiques (UMI : 0405) Hachani, Mohamed Amine Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type |
description |
Soit P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré n et M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$
D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions. === Let P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ a polynomial of degree n and M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|$. Without any additional restriction, we know that $|P '(z) | \leq Mn$ for $| z | \leq 1$ (Bernstein's inequality). Now if we assume that the zeros of the polynomial $P$ are outside the circle $| z | = k$, which improvement could be made to the Bernstein inequality? It is already known [{\bf \ref{Mal1}}] that in the case where $k \geq 1$, one has$$ (*) \qquad | P '(z) | \leq \frac{n}{1 + k} M \qquad (| z | \leq 1),$$ what would it be in the case where $k < 1$? What is the analogous inequality for an entire function of exponential type $\tau$? On the other hand, if we assume that $P$ has all its zeros in $| z | \geq k \, \, (k \geq 1),$ which is the estimate of $| P '(z) |$ on the unit circle, in terms of the first four terms of its Maclaurin series expansion. This thesis comprises a contribution to the analytic theory of polynomials in the light of these problems. |
author2 |
Rahman, Qazi Ibadur |
author_facet |
Rahman, Qazi Ibadur Hachani, Mohamed Amine |
author |
Hachani, Mohamed Amine |
author_sort |
Hachani, Mohamed Amine |
title |
Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type |
title_short |
Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type |
title_full |
Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type |
title_fullStr |
Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type |
title_full_unstemmed |
Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type |
title_sort |
certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type |
publishDate |
2014 |
url |
http://hdl.handle.net/1866/11087 |
work_keys_str_mv |
AT hachanimohamedamine certainproblemsconcerningpolynomialsandtranscendentalentirefunctionsofexponentialtype |
_version_ |
1718458108858073088 |