Prime number races
Sous l’hypothèse de Riemann généralisée et l’hypothèse d’indépendance linéaire, Rubinstein et Sarnak ont prouvé que les valeurs de x > 1 pour lesquelles nous avons plus de nombres premiers de la forme 4n + 3 que de nombres premiers de la forme 4n + 1 en dessous de x ont une densité logarithmiq...
| Main Author: | |
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| Other Authors: | |
| Format: | Others |
| Language: | English |
| Published: |
2021
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| Subjects: | |
| Online Access: | http://hdl.handle.net/1866/25109 https://orcid.org/0000-0001-8595-9031 |
| Summary: | Sous l’hypothèse de Riemann généralisée et l’hypothèse d’indépendance linéaire, Rubinstein
et Sarnak ont prouvé que les valeurs de x > 1 pour lesquelles nous avons plus de nombres
premiers de la forme 4n + 3 que de nombres premiers de la forme 4n + 1 en dessous de
x ont une densité logarithmique d’environ 99,59%. En général, l’étude de la différence
#{p < x : p dans A} − #{p < x : p dans B} pour deux sous-ensembles de nombres premiers A et
B s’appelle la course entre les nombres premiers de A et de B. Dans ce mémoire, nous
cherchons ultimement à analyser d’un point de vue numérique et statistique la course entre
les nombres premiers p tels que 2p + 1 est aussi premier (aussi appelés nombres premiers de
Sophie Germain) et les nombres premiers p tels que 2p − 1 est aussi premier. Pour ce faire,
nous présentons au préalable l’analyse de Rubinstein et Sarnak pour pouvoir repérer d’où
vient le biais dans la course entre les nombres premiers 1 (mod 4) et les nombres premiers
3 (mod 4) et émettons une conjecture sur la distribution des nombres premiers de Sophie
Germain. === Under the Generalized Riemann Hypothesis and the Linear Independence Hypothesis, Rubinstein
and Sarnak proved that the values of x which have more prime numbers less than
or equal to x of the form 4n + 3 than primes of the form 4n + 1 have a logarithmic density
of approximately 99.59%. In general, the study of the difference #{p < x : p in A} − #{p < x : p in B}
for two subsets of the primes A and B is called the prime number race between A and B. In
this thesis, we will analyze the prime number race between the primes p such that 2p + 1 is
also prime (these primes are called the Sophie Germain primes) and the primes p such that
2p − 1 is also prime. To understand this, we first present Rubinstein and Sarnak’s analysis
to understand where the bias between primes that are 1 (mod 4) and the ones that are
3 (mod 4) comes from and give a conjecture on the distribution of Sophie Germain primes. |
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